Belajar Grafik Fungsi Kuadrat

1

Sebelum belajar tentang grafik persamaan kuadrat disini akan saya bahas mengenai pengertian persamaan kuadrat, karena persamaan kuadrat sangat erat sekali hubungannya dengan grafik fungsi kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. jadi menggunakan dua orde.

1. Grafik Fungsi Kuadrat
Sebelum kita membahas lebih lanjut tentang grafik fungsi kuadrat, sebaiknya Anda ingat kembali mengenai pengertian fungsi atau pemetaan. Pada Gambar 3-1 dapat kita lihat diagram panah suatu relasi himpunan A ke himpunan B, dengan A = {c,d,e} dan B = {k,l,m,n}. Tampak bahwa setiap anggota himpunan A dihubungkan dengan tepat pada satu anggota himpunan B. relasi yang bersifat demikian disebut fungsi atau pemetaan.

Jadi, dapat dikatakan bahwa:
Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota pada himpunan B.

Apabila fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambang
f: A B
(dibaca: f memetakan A ke B).

Pada Gambar 3-1 di atas, fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dapat dibaca sebagai berikut:

(i).

(ii).

(iii).

f memetakan c A ke k B, dikatakan bahwa: k adalah peta c oleh f dan ditulis f (c) =k.
f memetakan d A ke l B, dikatakan bahwa: l adalah peta d oleh f dan ditulis f (d) = l.
f memetakan e A ke m B, dikatakan bahwa: m adalah peta e oleh f dan ditulis f(e) = m.

Apabila fungsi f memetakan setiap x A dengan tepat ke satu anggota y B, maka: f:x y (dibaca: y adalah peta dari x oleh f). Peta dari x A oleh fungsi f sering dinyatakan sebagai f(x) dan bentuk f(x) disebut rumus bagi fungsi f.

Sebagai contoh, fungsi f: x 3x+1 dengan x R maka dapat dinyatakan:

(i).
(ii).

(iii).

Rumus untuk fungsi f adalah f(x) = 3x + 1.
Peta dari 0 adalah f (0) = 3(0) + 1 = 0 + 1 = 1
Peta dari 1 adalah f(1) = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4
Peta dari 2 adalah f (2) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7, … dan seterusnya
Ingat bahwa f(0) adalah nilai f(x) untuk x = 0
Jadi, secara umum yang dimaksud f(a) = 3a + 1 adalah nilai fungsi f untuk x=a.
Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan y = 3x + 1.

Pada fungsi atau pemetaan dikenal beberapa istilah yaitu daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil. Untuk itu perhatikan penjelasan berikut ini.
Misalkan f suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B (f: A B), maka:

(i).
(ii).
(iii).
Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi f.
Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) fungsi f.
Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan setiap anggota himpunan A disebut daerah hasil (range) fungsi f.

Sebagai contoh, fungsi f pada Gambar 3-1 dapat disebutkan bahwa:

(i).
(ii).
(iii).
daerah asalnya adalah A= {c, d, e}
daerah kawannya adalah B = {k, l, m, n}
daerah hasilnya adalah {k, l, m}

Untuk menentukan daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi perhatikan contoh 1 dan contoh 2 di bawah ini.
Contoh 1:
Diketahui fungsi f: x+1 dengan daerah asal D = {x | 1 x 4, x R}

a.
b.
c.
Tentukan nilai fungsi f untuk x = 1, x = 2, x = 3, dan x = 4.
Gambarlah grafik fungsi f pada bidang cartesius
Tentukan daerah hasil fungsi f.

Jawab:
f: x x+1, rumus untuk fungsi f adalah f(x) = x + 1.

a.

b.

Nilai fungsi f:
untuk x = 1 adalah f(1) = 1+1 = 2
untuk x = 2 adalah f(2) = 2+1 = 3
untuk x = 3 adalah f(3) = 3+1 = 4
untuk x = 4 adalah f(4) = 4+1 = 5
Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y = x + 1 yaitu suatu persamaan garis lurus. Beberapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (1,2), (2,3), (3,4), dan (4,5). Titik-titik itu digambarkan pada bidang cartecius, kemudian dihubungkan dengan ruas garis lurus seperti pada Gambar 3-2 di bawah ini.

Gambar 3.2

c.

Berdasarkan grafik fungsi f pada Gambar 3-2, daerah hasilnya adalah
{y | 2 y 5, y R}

Contoh 2:
Diketahui fungsi f: x x – 2x + 1 dengan daerah asal D = {x | -1
x 3, x R}
Tentukan daerah hasilnya!
Jawab:
f: x x – 2x + 1, rumus untuk fungsi f adalah f(x) = x – 2x + 1.
Nilai fungsi f:
untuk x = -1 adalah f(-1) = (-1) – 2(-1)+1 = 1 + 2 + 1 = 4
untuk x = 0 adalah f(0) = (0) – 2(0)+1 = 0 – 0 = 1.
untuk x = 1 adalah f(1) = (1) – 2(1) + 1 = 1 – 2 + 1 = 0
untuk x = 2 adalah f(2) = (2) – 2(2) +1 = 4 – 4 + 1 = 1
untuk x = 3 adalah f(3) = (3) – 2(3) + 1 = 9 – 6 + 1 = 4
Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y = x – 2x +1 yaitu suatu parabola.
Beberapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (-1,4), (0,1), (1,0), (2,1), dan (3,4).
Titik-titik itu digambar pada bidang Cartecius, kemudian dihubungkan dengan kurva mulus seperti Gambar 3-3 di bawah ini.


Gambar 3-3

Setelah kita ingat kembali dan memahami tentang pengertian fungsi atau pemetaan termasuk istilah-istilahnya, marilah kita pelajari materi tentang menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat dan istilah-istilahnya.

a.
Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat yang Sederhana

Sebelum kita membahas cara-cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat, marilah kita ingat kembali mengenai bentuk umum fungsi kuadrat yaitu:
f(x) = ax + bx + c (a 0), a, b, c R.

Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f(x) = ax + bx + c, dan grafik fungsi kuadrat disebut parabola.

Langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana:

Langkah 1:
Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat kita tentukan dengan memilih beberapa nilai x bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian kita hitung nilai fungsi f. Titik-titik pada fungsi f itu biasanya akan lebih mudah jika kita sajikan dengan menggunakan tabel atau daftar.

Langkah 2:
Gambarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada Langkah 1 pada sebuah bidang Cartecius.

Langkah 3:
Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang Cartecius pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva mulus.

Agar Anda lebih memahami dan terampil menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana dengan menggunakan langkah-langkah di atas, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan :
f(x) = x + 2x, jika aderah asalnya adalah D = {x | -4 x 6, x R}
Jawab:
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x + 2x adalah sebuah parabola dengan persamaan:
y = x + 2x.
Langkah 1:
Kita buat tabel atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=x + 2x 8 3 0 -1 0 3 8
Langkah 2:
Gambarkan titik-titik (-4,8), (-3,3), (-2,0), (-1,-1), (0,0), (1,3), dan (2,8) pada bidang Cartecius seperti Gambar 3-4.
Langkah 3:
Hubungkan titik-titik pada Langkah 2 tersebut dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = x + 2x seperti ditunjukkan pada Gambar 3-4. Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk parabola.

Gambar 3-4

Dari grafik fungsi pada Gambar 3-4, dapat kita ketahui beberapa istilah sebagai berikut:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Daerah Asal
Daerah asal fungsi f adalah {x | -4 x 2, x R}
Daerah Hasil
Daerah hasil fungsi f adalah {y | -1 y 8. y R}
Pembuat Nol
Untuk nilai x = 0 diperoleh f(0) = 0 dan x = -2 diperoleh f(-2) = 0. Dalam hal ini x = 0 dan x = -2 disebut pembuat nol fungsi f, dan pembuat nol itu merupakan akar-akar persamaan f(x) = 0. Perhatikan bahwa grafik fungsi f memotong sumbu x di (-2,0) dan (0,0) sehingga pembuat nol sebuah fungsi dapat ditafsirkan sebagai absis titik potong grafik fungsi f dengan sumbu x.
Persamaan Sumbu Simetri
Parabola dengan persamaan y = x + 2x mempunyai sumbu simetri yang persamaannya adalah x = -1.
Koordinat Titik Balik atau Titik Puncak
Dari Gambar 3-4b, koordinat titik balik atau ttik pusat parabola adalah
P(-1, -1). Pada titik P(-1, -1), nilai ordinat y = -1 merupakan nilai terkecil (minimum) dari fungsi f, maka titik P (-1, -1) disebut titik balik minimum.
Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi
Untuk x= -1 diperoleh f(-1) = -1. Nilai f(-1) = -1 ini disebut nilai minimum fungsi karena nilai itu adalah nilai yang terkecil dari fungsi f.

Setelah mempelajari materi di atas, apakah Anda sudah paham! Baiklah, untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh 2 di bawah ini.
Contoh 2:
Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan :
f(x) = -x + 4x + 5, jika aderah asalnya adalah D = {x | -2 x 6, x R}
Jawab:
Grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + 4x + 5 adalah sebuah parabola dengan persamaan: y = -x + 4x + 5.
Langkah 1:
Kita buat tabel atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f.

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y = -x + 4x + 5 -7 0 5 8 9 8 5 0 -7

Langkah 2:
Gambarkan titik=titik (-2,-7), (-1,0), (0,5),(1,8), (2,9), (3,8), (4,5), (5,0), dan (6,-7) pada bidang Cartecius seperti Gambar 3-5.
Langkah 3:
Hubungkan titik-titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + 4x + 5 seperti ditunjukkan pada Gambar 3-5. Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk parabola.

Gambar 3-5

Dari grafik fungsi pada Gambar 3-5, dapat kita tentukan hal-hal sebagai berikut:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
Daerah asal fungsi f adalah {x | -2 x 6, x R}
Daerah hasil fungsi f adalah {y | -7 y 9. y R}
Pembuat nol fungsi f adalah x = -1 dan x = 5, karena f(-1) = 0 dan f(5) = 0
Persamaan sumbu simetri adalah garis x = 2
Koordinat titik-titik maksimum adalah (2, 9)
Nilai maksimum fungsi f adalah 9, karena nilai itu adalah nilai yang terbesar dari fungsi f

Nah, setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan di bawah ini.

1.
Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = x – 2x dalam daerah asal adalah D = {x | -2 x 4, x R}.

a) Salin dan lengkapilah daftar ini untuk fungsi f tersebut.

x -2 -1 0 1 2 3 4
y = x – 2x ….
b)
Dengan menggunakan daftar yang Anda peroleh pada soal a, gambarlah sketsa grafik fungsi f.
c) Berdasarkan grafik yang Anda peroleh pada soal b, tentukan:

(i).
(ii).
(iii).
(iv).
(v).
daerah hasil fungsi f
pembuat nol fungsi f
persamaan sumbu simetri grafik fungsi f
titik balik grafik fungsi f
nilai minimum fungsi f
2.
Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = -x + 4 dalam daerah asal adalah D = {x | -3 x 3, x R}.

a) Salin dan lengkapilah daftar ini untuk fungsi f tersebut.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = -x + 4 ….
b)
Dengan menggunakan daftar yang Anda peroleh pada soal a, gambarlah sketsa grafik fungsi f.
c) Berdasarkan grafik yang Anda peroleh pada soal b, tentukan:

(i).
(ii).
(iii).
(iv).
(v).
daerah hasil fungsi f
pembuat nol fungsi f
persamaan sumbu simetri grafik fungsi f
titik balik parabola
nilai maksimum fungsi f

Sebelum selesai mengerjakan soal-soal di atas, Anda jangan membaca jawabannya terlebih dahulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

1.
f(x) = x – 2x maka y=x–2x dalam daerah asal D = {x | -2 x 4, x R}.

a)

x
-2 -1 0 1 2 3 4
y = x – 2x 8 3 0 -1 0 3 8
b)
Sketsa grafik fungsi f.

c) Berdasarkan grafik yang Anda peroleh pada soal b, tentukan:

(i).
(ii).
(iii).
(iv).
(v).
daerah hasil fungsi f adalah {y | -1 x 8, x R}
pembuat nol fungsi f adalah x = 0 dan x = 2
persamaan sumbu simetri grafik fungsi f adalah x = 1
titik balik grafik fungsi f adalah (1, -1), jenisnya titik balik minimum
nilai minimum fungsi f adalah -1
2.
f(x) = -x + 4 maka y=-x+4 dalam daerah asal D = {x | -3 x 3, x R}.

a)

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = -x + 4 -5 0 3 4 3 0 -5
b)
Sketsa grafik fungsi f.
Gambar 3-7

c) Berdasarkan grafik yang Anda peroleh pada soal b, tentukan:

(i).
(ii).
(iii).
(iv).
(v).
daerah hasil fungsi f adalah {y | -5 x 4, x R}
pembuat nol fungsi f adalah x = -2 dan x = 2
persamaan sumbu simetri grafik fungsi f adalah x = 0 atau sumbu y
titik balik grafik fungsi f adalah (0, 4)
nilai maksimum fungsi f adalah 4

Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segera samakanlah dengan jawaban di atas. Jika mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawab benar, selanjutnya marilah kita pelajari materi di bawah ini .

b.
Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum

Pada bagian a, Anda telah mempelajari cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan penjelasan berikut.
Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan f(x)= ax + bx + c (a 0), a, b, c, R. Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah parabola dengan persamaan y = ax + bx + c.
Untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum, dapat Anda gunakan langkah-langkah sebagai berikut:
(i). titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
(ii). titik balik atau titik puncak parabola.
(iii). Persamaan sumbu simetri.

Untuk lebih jelasnya, marilah kita pelajari materi di bawah ini.
1. Titik Potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu Y

a.
Titik Potong Grafik dengan Sumbu X
Titik potong grafik dengan sumbu X diperoleh jika y = 0, sehingga
ax + bx + c = 0 merupakan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu x. Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, yaitu D = b – 4ac menentukan banyak titik potong grafik dengan sumbu x.

1.

2.

3.

Jika D>0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
Jika D=0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x.
Jika D<0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
b.
Titik Potong Grafik dengan Sumbu Y
Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0, sehingga
y = a(0) + b(0) + c = c. Jadi, titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0,c)

2. Titik Balik atau Titik Puncak dan Persamaan Sumbu Simetri

Titik balik atau titik puncak suatu parabola dapat ditentukan dengan mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dari bentuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula ditentukan sumbu simetrinya. Sebagai contoh, perhatikan kembali parabola-parabo